MODELO DE RICKER. PERIODO DE ORDEN DOS

PRIMER CASO K=500; r=2.5

Puntos de equilibrio

f[ x_] := x*Exp[2.5*(1-x/500)]

orbita=NestList[f,700,50]

ListPlot[orbita,PlotStyle->PointSize[0.02]]

El modelo tiene un comportamiento periódico de orden dos

Diagrama de Cobweb

ruta=ListPlot[Partition[Flatten[Transpose[{orbita,orbita}]],2,1],PlotJoined->True];
funciones=Plot[{x,f[x]},{x,0,1000},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]},DisplayFunction->Identity];

Show[{ruta,funciones},PlotRange->{{0,1000},{0,1000}},AxesOrigin->{0.0,0}]

Cálculo analítico de los puntos periódicos de orden dos

g[x_]=f[f[x]]

Plot[{g[x],x},{x,0,1200}]

Hay cuatro puntos periódicos de orden dos

FindRoot[g[x]==x,{x,200}]

FindRoot[g[x]==x,{x,550}]

FindRoot[g[x]==x,{x,1100}]

g'[x]/.{x->144.794}

El punto de equilibrio x=144.794 es estable

g'[x]/.{x->500}

El punto de equilibrio x=500 es inestable

g'[x]/.{x->855.206}

El punto de equilibrio x=855.206 es estable

Comenzamos con un punto x  y calculamos  f[x],  tiene sentido escribir f[f[x]], y así sucesivamente. Este proceso es conocido con el nombre de iteración y podemos realizarlo con el programa Mathematica utilizando la orden  NestList. 
Empezamos fijando para c el valor de 2.5 y calculamos las 50 primeras iteraciones del punto 700.

NestList[g, 700, 80]

Resultado : Como puede observarse, los valores obtenidos tienden al punto de equilibrio 855.113

Calculamos las 50 primeras iteraciones del punto 100.

NestList[g,200,50]

Resultado : Como puede observarse, los valores obtenidos tienden al punto de equilibrio 855.113

Resultado: Como puede observarse, los valores obtenidos se repiten cada dos veces. La órbita es periódica de orden dos.

DIAGRAMA DE BIFURCACIÓN SONORO DEL MODELO DE RICKER.

ricker[n_Integer]:=Module[{f,t,x},f=Compile[{x,t},Evaluate[x*Exp[(3+t/n)*(1-x/500)]]];
FoldList[f,0.223,Range[n]]]

La celda próxima representa de forma sonora el efecto del barrido del parámetro c. Puede oirse como el periodo del sonido va doblandose hasta llegar al caos.

ListPlay[ricker[8000]]