MODELO CONTINUO LOGÍSTICO

CAMPO DE PENDIENTES

campo=VectorPlot[{1,0.5*y*(1-(y/100))},{t,0,20},{y,0,200},VectorScale->{0.03,0.03,None},Axes->True,AxesLabel->{"t","y"}]

SOLUCIÓN GENERAL

DSolve[y'[t]==0.5*y[t]*(1-((y[t])/100)),y[t],t]

SOLUCIÓN PARTICULAR y(0)=50

DSolve[{y'[t]==0.5*y[t]*(1-((y[t])/100)),y[0]==50},y[t],t]

f1[t_]:=((100*(2.718281^(0.5t)))/(1 +(2.718281^(0.5 t))))

solucion1=Plot[f1[t],{t,-1,20},PlotStyle->{Thick,Red}]

SOLUCIÓN PARTICULAR y(0)=150

DSolve[{y'[t]==0.5*y[t]*(1-((y[t])/100)),y[0]==150},y[t],t]

f2[t_]:=(100*(2.7182818^(0.5t)))/(-0.33333333+(2.7182818^(0.5t)))

solucion2=Plot[f2[t],{t,-2,20},PlotStyle->{Thick,Red}]

SOLUCIONES PARTICULARES Y CAMPO DE PENDIENTES I

punto1=Graphics[{PointSize[Large],Point[{0,50}]}];

punto2=Graphics[{PointSize[Large],Point[{0,150}]}];

Show[campo,solucion1,punto1,solucion2,punto2]

SOLUCIONES PARTICULARES Y CAMPO DE PENDIENTES II

VectorPlot[{1,0.5*y*(1-(y/100))},{t,0,20},{y,0,200},VectorScale->{0.03,0.03,None},Axes->True,AxesLabel->{"t","y"},StreamPoints->10]

PROPIEDAD

El máximo crecimiento del modelo logístico ocurre cuando se alcanza la mitad de la capacidad de carga (K/2=100/2=50). Coincide con el punto de inflexión de la función y (t), es decir aquel valor que hace y'' (t) = 0

g[y_]:=0.5*y*(1-(y/100))

Solve[g'[y]==0,y]

ESTUDIO CUALITATIVO

Solve[g[y]==0,y]

g'[y]/.{y->0}

La derivada es positiva, entonces el punto de equilibrio 0 es inestable (fuente)

g'[y]/.{y->100}

La derivada es negativa, entonces el punto de equilibrio 100 es inestable (fuente)

CONCLUSIÓN : Independientemente del valor inicial, y (t) tiende a largo plazo, al punto de equilibrio 100.

Plot[Evaluate[y[t]/.DSolve[{y'[t]==0.5*y[t]*(1-((y[t])/100)),y[0.5]==20},y[t],t][[1]]],{t,0.1,20},PlotStyle->Red]

ESTUDIO INTERACTIVO

Manipulate[Show[campo,Plot[Evaluate[y[t]/.DSolve[{y'[t]==0.5*y[t]*(1-((y[t])/100)),y[1]==b},y[t],t][[1]]],{t,0.1,20},PlotStyle->Red],Graphics[{PointSize[Large],Point[{0,b}]}]],{b,1,200,5}]