BASADO EN LA SIMULACIÓN REALIZADA POR          D. GERMÁN ALVARADO

https://ustamathematica.blogspot.com/2018/03/ecuaciones-diferenciales-de-primer-orden.html

Campo de direcciones de la ecuación diferencial y’[t]=(t^2)-1

PRIMERA PARTE

Empezamos dibujando el campo de pendientes de la EDO

campo=VectorPlot[{1,(t^2)-1},{t,-5,5},{y,-10,10},Axes->True,VectorScale->{Tiny,Tiny,None},AxesLabel->{"t","y"}]

Encontramos la solución particular del PVI y (0) = 5

particular=DSolve[{y'[t]==(t^2)-1,y[0]==5},y[t],t]

f[t_]:=(1/3) (15-3 t+(t^3))

Dibujamos esta solución particular en el intervalo (-5, 5)

grafparticular=Plot[f[t],{t,-5,5},PlotStyle->Red]

Superponemos la solución àrticular al campo de pendientes

Show[campo,grafparticular]

Con la orden StreamPoints se puede dibujar muchas otras soluciones particulares

VectorPlot[{1,(t^2)-1},{t,-5,5},{y,-10,10},Axes->True,VectorScale->{Tiny,Tiny,None},AxesLabel->{"t","y"},StreamPoints->15]

SEGUNDA PARTE

Encontramos la solución del PVI correspondiente a valor inicial generico y (a) = b

solucion=DSolve[{y'[t]==(t^2)-1,y[a]==b},y[t],t]

g[t_,a_,b_]:=(1/3) (3 a-(a^3)+3 b-3 t+(t^3))

Dibujamos un conjunto de estas soluciones, para valores de a y b entre -3 y 3 (paso 1)

dibujo=Plot[Evaluate[Table[g[t,a,b],{a,-3,3,2},{b,-3,3,2}]],{t,-5,5},PlotRange->{-10,10}]

Se superponen este conjunto de soluciones y el campo de pendientes

Show[campo,dibujo,ImageSize->250]

TERCERA PARTE

Nuestro objetivo es tratar de hacer interactivos los apartados anteriores

Manipulate[Show[campo,Plot[Evaluate[y[t]/.DSolve[{y'[t]==(t^2)-1,y[a]==b},y[t],t][[1]]],{t,-6,6},PlotStyle->Red],Graphics[{PointSize[Large],Point[{a,b}]}]],{{a,0},-5,5},{{b,0},-5,5}]