Modelo de transición de Dypsacus sylvestris (Teasel)

La matriz de proyección del modelo  en campo abierto es:

A:=(({{0, 0, 0, 0, 0, 0, 635}, {.634, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, .974, 0, 0, 0, 0, 0}, {.013, .017, .011, 0, 0, 0, 0}, {.109, .001, .002, .077, .212, 0, 0}, {.006, .003, 0, .038, .281, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, .063, 1, 0}}))

siendo el vector inicial,

x0:=(({{100}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}}))

Para estudiar el comportamiento a largo plazo del modelo podemos utilizar dos procedimientos. Calculando la distribución de las generaciones sucesivas y extrapolando el resulto.

x1 = MatrixPower[A, 1] . x0

x2 = MatrixPower[A, 2] . x0

x3 = MatrixPower[A, 3] . x0

x4 = MatrixPower[A, 4] . x0

x5 = MatrixPower[A, 5] . x0

Como podemos ver, a largo plazo, la población de Dipsacus sylvestris aumenta. ¿Cuánto aumenta?

x40 = MatrixPower[A, 40] . x0

x41 = MatrixPower[A, 41] . x0

x41/x40

En efecto, a largo plazo, la población aumenta en torno a un 159 % de año en año.

El segundo método de estudio consiste en comprobar si la matriz de proyección A tiene algún autovalor estríctamente dominante

Eigenvalues[A]

De los siete autovalores, cuatro de ellos son números complejos conjugados dos a dos. Es necesario calcular su módulo para establecer la comparación con el resto de os vectores propios.

(Sqrt[(((-0.393793))^2) + (((2.17677))^2)])
(Sqrt[(((0.0431524))^2) + (((0.172076))^2)])

Todos los valores, en valor absoluto,  son estrictamente menores que el 2.59476 que será el autovalor estrictamente dominante. Podemos afirmar que la población , a largo plazo, crecerá año tras año un 159%.

Eigenvectors[A]

Para encontrar las proporciones  en cada una de las clases, a largo plazo, se estabilizarán en:

0.96657/(0.96657 + 0.23617 + 0.0886517 + 0.00676574 + 0.0446082 + 
          0.00743804 + 0.00394963)
0.23617/(0.96657 + 0.23617 + 0.0886517 + 0.00676574 + 0.0446082 + 
          0.00743804 + 0.00394963)
0.0886517/(0.96657 + 0.23617 + 0.0886517 + 0.00676574 + 0.0446082 + 
          0.00743804 + 0.00394963)
0.00676574/(0.96657 + 0.23617 + 0.0886517 + 0.00676574 + 0.0446082 + 
          0.00743804 + 0.00394963)
0.0446082/(0.96657 + 0.23617 + 0.0886517 + 0.00676574 + 0.0446082 + 
          0.00743804 + 0.00394963)
0.00743804/(0.96657 + 0.23617 + 0.0886517 + 0.00676574 + 0.0446082 + 
          0.00743804 + 0.00394963)
0.00394963/(0.96657 + 0.23617 + 0.0886517 + 0.00676574 + 0.0446082 + 
          0.00743804 + 0.00394963)

Es decir, el 71% serán semillas, el 17% semilla 1º, 6.5% semilla 2º, 0.5% roseta pequeña, 3% roseta mediana, 0.5% roseta grande y el 0.3% de flores.

El segundo caso corresponde al desarrollo de la especie en matorral, siendo la matriz que representa la modelo:

B:=(({{0, 0, 0, 0, 0, 0, 476}, {0.423, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0.987, 0, 0, 0, 0, 0}, {0.024, 0.009, 0.006, 0.007, 0, 0, 0}, {0.044, 0, 0, 0.050, 0.158, 0, 0}, {0.001, 0, 0, 0.002, 0.008, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 0.250, 0}}))

v0:=(({{100}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}}))

v1 = MatrixPower[B, 1] . v0

v2 = MatrixPower[B, 2] . v0

v3 = MatrixPower[B, 3] . v0

v4 = MatrixPower[B, 4] . v0

v5 = MatrixPower[B, 5] . v0

v6 = MatrixPower[B, 6] . v0

Como se ha podido comprobar, la población tiende a desaparecer.Para asegurarnos calcularemos la distribución en cada una de las clases después de 50 generaciones.

v50 = MatrixPower[B, 50] . v0

También podemos llegar a la misma conclusión si encontramos el valor propio estrictamente dominante.

Eigenvalues[B]

(Sqrt[(((-0.123669))^2) + (((0.449987))^2)])
(Sqrt[(((0.0366531))^2) + (((0.136813))^2)])

El autovalor estrictamente dominante es el 0.614119. En conseuencia, a largo plazo, la población disminuye un 39% cada año y desaparacerá.

Conclusión: 
A largo plazo la población de Dypsacus sylvestris en campo abierto crecerá, mientras que en matorral tiende a desaparecer.